《大学物理AⅡ》期中补考试卷 (精选01)

真空介电常量 $\varepsilon _ { 0 } = 8 . 8 5 { \times } 1 0 ^ { - 1 2 } \mathbf { C } ^ { 2 } { \cdot } \mathbf { N } ^ { - 1 } { \cdot } \mathbf { m } ^ { - 2 }$ ，真空磁导率 $\mu _ { 0 } = 4 \pi { \times } 1 0 ^ { - 7 } \mathrm { N } { \cdot } \mathrm { A } ^ { - 2 }$

一、选择题 (共 15 分，每题3 分) 请将答案写在试卷上指定方括号［］内。

(3分) 在真空中，有A、B两平行板，其间距离为 $$d$$ (很小)，两板面积均为 $$S$$ ，所带电量分别为 $$+ q$$ 和 $$- q$$ ，则两板间的静电作用力为 [ ]

(A) $F = \frac { q ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } d ^ { 2 } }$

(B) $F = \frac { q ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } S }$

(D) $F = \frac { q ^ { 2 } } { 4 \varepsilon _ { 0 } S }$

查看答案与解析

答案：C

解析：

平行板电容器内部场强 $E = \sigma/\varepsilon_0 = q/(\varepsilon_0 S)$ 。一块板在另一块板产生的电场中受力 $F = qE/2 = q^2/(2\varepsilon_0 S)$ 。

难度: ⭐
考点: #平行板电容器 #电场力

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

无限大带电平面的场强： $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ （单板）
平行板电容器内部场强： $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ （两板叠加）
电场力： $$F = qE$$ （注意：一块板在另一块板的电场中受力）
面电荷密度： $\sigma = q/S$

思路分析

一块板在另一块板处产生的场强为 $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$
该板受力 $F = q \cdot E = q \cdot \sigma/(2\varepsilon_0) = q^2/(2\varepsilon_0 S)$

易错点

不能用 $F = qE_{\text{总}}$ ，因为 $E_{\text{总}}$ 包含自身产生的场
一块板不受自身电场的作用力

🔄 举一反三

两平行板带同号电荷，作用力方向？
查看练习答案与解析
答案：排斥力
解析：同号电荷相互排斥，两板受力方向均为背离对方。
若两板分别带 $$+2q$$ 和 $$-q$$ ，求作用力大小。
查看练习答案与解析
答案： $F = q^2/(\varepsilon_0 S)$
解析：正板在负板处场强 $E = 2q/(2\varepsilon_0 S) = q/(\varepsilon_0 S)$ ，负板受力 $F = qE = q^2/(\varepsilon_0 S)$ 。

2.(3分) 一电场强度为 $$E$$ 的均匀电场， $$E$$ 的方向与 $$x$$ 轴正向的夹角为 $\pi / 4$ ，与 $$y$$ 轴方向垂直，如图所示。则通过图中半径为 $$R$$ 的¼球面(直径沿 $$y$$ 轴)的电场强度通量为 [ ]

(A) $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \pi R ^ { 2 } E \mathrm { ~ . ~ }$

(B) ${ \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } \pi R ^ { 2 } E \ ,$

(D) 0。

查看答案与解析

答案：A

解析：

¼球面（直径沿 $$y$$ 轴）的矢量面积：

$\vec{A} = \iint_S d\vec{S} = \left(\frac{\pi R^2}{2},\ 0,\ \frac{\pi R^2}{2}\right)$ 。

电场 $\vec{E} = (E\cos\frac{\pi}{4},\ 0,\ E\sin\frac{\pi}{4}) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}E,\ 0,\ \frac{\sqrt{2}}{2}E\right)$ 。

电通量 $\Phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = \frac{\sqrt{2}}{2}E \cdot \frac{\pi R^2}{2} + 0 + \frac{\sqrt{2}}{2}E \cdot \frac{\pi R^2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\pi R^2 E$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #电通量 #高斯定理

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

电通量： $\Phi = \vec{E} \cdot \vec{S} = ES\cos\theta$
通过曲面的电通量 = 通过其在垂直于电场方向的投影面的电通量
¼球面在 $$x$$ 方向的投影为¼圆，面积 $\pi R^2/4$
$E_x = E\cos(\pi/4) = \sqrt{2}E/2$

思路分析

¼球面的矢量面积 $\vec{A} = \iint_S d\vec{S}$ ，通过球面积分求得 $\vec{A} = (\pi R^2/2,\ 0,\ \pi R^2/2)$
电场分量： $E_x = E\cos(\pi/4) = \sqrt{2}E/2$ ， $E_z = E\sin(\pi/4) = \sqrt{2}E/2$
$\Phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = E_x A_x + E_z A_z = \frac{\sqrt{2}}{2}E \cdot \frac{\pi R^2}{2} \times 2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\pi R^2 E$

易错点

注意 $$E$$ 的方向：与 $$x$$ 轴夹角 $\pi/4$ ，与 $$y$$ 轴垂直
投影面积是¼圆面积，不是半球面积

🔄 举一反三

均匀电场通过半球面的电通量？
查看练习答案与解析
答案： $\Phi = E \cdot \pi R^2$
解析：
- 第一步：半球面在垂直于 $$E$$ 方向的投影是半径为 $$R$$ 的圆
- 第二步：投影面积 $\pi R^2$
- 第三步： $\Phi = E \cdot \pi R^2$
均匀电场通过闭合圆柱面的总电通量？
查看练习答案与解析
答案： $$0$$
解析：闭合曲面内无电荷，由高斯定理 $\Phi = q_{\text{内}}/\varepsilon_0 = 0$ 。

3.(3分) 一带电大导体平板，平板二个表面的电荷面密度的代数和为 $\sigma$ ，置于电场强度为 $\vec { E _ { 0 } }$ 的均匀外电场中，且使板面垂直于 $\vec { E _ { 0 } }$ 的方向．设外电场分布不因带电平板的引入而改变，则板的附近左、右两侧的合场强为 [ ]

查看答案与解析

答案：A

解析：

导体平板在电场中静电平衡，内部场强为零。设左右表面电荷面密度分别为 $\sigma_1$ 、 $\sigma_2$ ， $\sigma_1 + \sigma_2 = \sigma$ 。

左侧合场强 $E_0 - \sigma_1/(2\varepsilon_0) + \sigma_2/(2\varepsilon_0) = E_0 - (\sigma_1 - \sigma_2)/(2\varepsilon_0)$ 。

内部场强为零： $E_0 - (\sigma_1 + \sigma_2)/(2\varepsilon_0) = 0$ → $E_0 = \sigma/(2\varepsilon_0)$ 。

左侧 $E_{\text{左}} = E_0 - \sigma/(2\varepsilon_0) = 0$ ，右侧 $E_{\text{右}} = E_0 + \sigma/(2\varepsilon_0) = \sigma/\varepsilon_0$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #导体静电平衡 #场强叠加

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

无限大带电平面的场强： $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ （方向垂直于平面向外）
导体静电平衡条件：内部场强为零
场强叠加原理：合场强 = 外电场 + 各表面电荷产生的场强
电荷守恒： $\sigma_1 + \sigma_2 = \sigma$

思路分析

设左右表面电荷面密度分别为 $\sigma_1$ 、 $\sigma_2$
由内部场强为零列方程
由电荷守恒列方程
联立求解各区域场强

易错点

导体内部场强为零是静电平衡的核心条件
各表面电荷产生的场强方向需正确判断

🔄 举一反三

不带电导体平板放入外电场，两侧场强？
查看练习答案与解析
答案：两侧均为 $$E_0$$
解析：
- 第一步： $\sigma = 0$ ，由内部场强为零得 $\sigma_1 = -\sigma_2$
- 第二步：感应电荷产生的场与外场在外部叠加后仍为 $$E_0$$
接地导体平板一侧有点电荷，求另一侧场强。
查看练习答案与解析
答案： $$0$$
解析：接地导体板起到静电屏蔽作用，另一侧场强为零。

4.(3分)真空中有一半径为 $$R$$ ，所带电荷量为 $\mathcal { Q }$ 的导体球，测得距中心 $$O$$ 为 $$r$$ 处的 $$A$$ 点场强为 $\vec { E _ { A } } = Q \hat { e } _ { r } / \big ( 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r ^ { 3 } \big )$ ，现以 $$A$$ 为中心，再放上一个半径为 $\rho$ ，相对介电常数为 $\varepsilon _ { \mathrm { r } }$ 的介质球，如图所示，此时下列各公式中正确的是

(A) $$A$$ 点的电场强度 $\vec { E _ { A } ^ { \prime } } = \vec { E _ { A } } / \varepsilon _ { \mathrm { r } }$ 。

(B) $\oint _ { S } \vec { D } \cdot \mathrm { d } \vec { S } = Q$
(C) $\oint _ { S } \vec { E } \cdot \mathrm { d } \vec { S } = Q / \varepsilon _ { 0 }$
(D) 导体球面上的电荷面密度 $\sigma = Q / \left( 4 \pi R ^ { 2 } \right)$ 。

查看答案与解析

答案：B

解析：

(A) 错：介质球放入后改变了原场分布，A 点场强不是简单除以 $\varepsilon_r$ 。

(B) 对： $\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q_f$ （自由电荷），高斯面内自由电荷为 $$Q$$ 。

(D) 错：介质球放入后导体球表面电荷重新分布。

难度: ⭐⭐
考点: #电介质 #高斯定理 #D矢量

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

有介质时的高斯定理： $\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q_f$ （只与自由电荷有关）
$\vec{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec{E}$ （各向同性线性介质）
真空中高斯定理： $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = q/\varepsilon_0$ （包含所有电荷）
介质极化会产生束缚电荷，影响 $\vec{E}$ 但不影响 $\vec{D}$

思路分析

$\vec{D}$ 的高斯定理只与自由电荷有关，与介质无关
$\vec{E}$ 的高斯定理与所有电荷（含束缚电荷）有关
介质球放入后改变了 $\vec{E}$ 的分布，但 $\vec{D}$ 的通量不变

易错点

$\vec{D}$ 只与自由电荷有关，不等于 $\vec{E}$ 简单除以 $\varepsilon_r$
介质放入后导体球表面电荷会重新分布

🔄 举一反三

有介质时的高斯定理与真空中的区别？
查看练习答案与解析
答案： $\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q_f$ （只与自由电荷有关）
解析：
- 第一步：真空中 $\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E}$ ， $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = q/\varepsilon_0$
- 第二步：有介质时 $\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}$ ， $\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q_f$
- 第三步： $\vec{D}$ 的通量只取决于自由电荷
均匀介质中 $\vec{D}$ 、 $\vec{E}$ 、 $\vec{P}$ 的关系？
查看练习答案与解析
答案： $\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}$
解析： $\vec{P} = \chi_e\varepsilon_0\vec{E}$ ， $\varepsilon_r = 1 + \chi_e$ ， $\vec{D} = \varepsilon_0(1+\chi_e)\vec{E} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}$ 。

(3分) 四条相互平行的无限长载流直导线，电流强度均为 $$I$$ ，如图所示，垂直纸面放置，正方形的边长为 $$2 a$$ ，则正方形中心 $$O$$ 处的磁感应强度大小为 [ ]

(A) $B = \frac { 2 \mu _ { 0 } I } { \pi a }$

(B) $B = \frac { 2 \mu _ { \scriptscriptstyle 0 } I } { \sqrt { 2 } \pi a }$

(D) $$B = 0$$

查看答案与解析

答案：D

解析：

中心到各导线距离 $r = \sqrt{2}a$ 。对角两导线电流同向，在中心产生磁场等大反向，抵消。四条导线磁场全部抵消， $$B = 0$$ 。

难度: ⭐
考点: #毕奥-萨伐尔定律 #磁场叠加

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

无限长直导线磁场： $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
磁场方向：右手定则（拇指沿电流，四指弯曲方向为磁场方向）
对角两导线在中心产生的磁场等大反向
磁场叠加原理： $\vec{B}_{\text{总}} = \sum \vec{B}_i$

思路分析

计算每条导线在中心产生的磁场大小和方向
对角两导线电流同向，在中心磁场方向相反
四条导线两两抵消，总磁场为零

易错点

磁场是矢量，叠加时必须考虑方向
对角线导线在中心产生的磁场方向相反

🔄 举一反三

四条导线中一条电流反向，中心磁场？
查看练习答案与解析
答案： $B = \mu_0 I/(\pi a)$
解析：
- 第一步：一条电流反向后，该导线与对角导线在中心产生同向磁场
- 第二步：另一对角导线仍互相抵消
- 第三步： $B = 2 \times \frac{\mu_0 I}{2\pi\sqrt{2}a} \times \sqrt{2} = \frac{\mu_0 I}{\pi a}$
两条平行导线电流同向和反向时，中间点磁场分别多大？
查看练习答案与解析
答案：同向 $$B=0$$ ；反向 $B = \mu_0 I/(\pi d)$
解析：
- 第一步：同向时中间点两磁场等大反向，抵消为零
- 第二步：反向时中间点两磁场同向叠加， $B = 2 \times \mu_0 I/(2\pi d) = \mu_0 I/(\pi d)$

二、填空题(共35分)请将填空题答案写在卷面指定的划线处

1.(4分) 在静电场中，一质子(电荷量 $e = 1 . 6 { \times } 1 0 ^ { - 1 9 } \mathrm { C } )$ 沿四分之一的圆弧轨道从 $$A$$ 点移到 $$B$$ 点，电场力做功为 $8 . 0 { \times } 1 0 ^ { - 1 5 } \mathrm { J }$ ，则质子沿四分之三的圆弧轨道从 $$B$$ 点回到 $$A$$ 点时，电场力做功为_。设 $$A$$ 点电势为零，则 $$B$$ 点电势为。

查看答案与解析

答案： $-8.0 \times 10^{-15}\ \mathrm{J}$ ； $-5 \times 10^4\ \mathrm{V}$

解析：

静电场力做功与路径无关。 $A_{BA} = -A_{AB} = -8.0 \times 10^{-15}\ \mathrm{J}$ 。

$A_{AB} = e(U_A - U_B)$ ， $$U_A = 0$$ → $U_B = -A_{AB}/e = -8.0 \times 10^{-15}/(1.6 \times 10^{-19}) = -5 \times 10^4\ \mathrm{V}$ 。

难度: ⭐
考点: #电场力做功 #电势

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

电场力做功： $$A = q(U_1 - U_2)$$ （与路径无关）
电势定义： $U_A = A_{A\to\infty}/q$ （取无穷远为零电势）
静电场是保守场，做功只与起止点有关
$A_{BA} = -A_{AB}$ （往返做功等大反号）

思路分析

电场力做功与路径无关，只与起止点有关
$B \to A$ 做功是 $A \to B$ 做功的负值
由 $A_{AB} = q(U_A - U_B)$ 求电势差

易错点

做功公式中是 $$U_1 - U_2$$ ，不是 $$U_2 - U_1$$
质子带正电 $$q = +e$$ ，电子带负电 $$q = -e$$

🔄 举一反三

电子从 A 到 B 电场力做正功，哪点电势高？
查看练习答案与解析
答案：B 点电势高
解析：
- 第一步：电子带负电 $$q = -e$$
- 第二步： $$A = q(U_A - U_B) > 0$$ → $$U_A - U_B < 0$$ → $$U_A < U_B$$
- 第三步：B 点电势高
将 $q = 2\ \mathrm{\mu C}$ 从 $$A$$ 移到 $$B$$ ，电场力做功 $-4 \times 10^{-3}\ \mathrm{J}$ ，求 $U_{AB}$ 。
查看练习答案与解析
答案： $U_{AB} = 2000\ \mathrm{V}$
解析： $A = q(U_A - U_B) = qU_{AB}$ ， $U_{AB} = A/q = -4 \times 10^{-3}/(2 \times 10^{-6}) = -2000\ \mathrm{V}$ ，即 $U_A - U_B = -2000\ \mathrm{V}$ ， $U_{BA} = 2000\ \mathrm{V}$ 。

2.(3分) 如图所示，两个同心导体球壳，内球壳半径为 $R _ { 1 }$ ，均匀带有电量 $\mathcal { Q }$ ；外球壳半径为 $R _ { 2 }$ ，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接。设地为电势零点，则在两球之间、距离球心为 $$r$$ 的 $$P$$ 点处电势为。

查看答案与解析

答案： $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R_2}\right)$

解析：

外球壳接地 $$U(R_2) = 0$$ 。两球间场强 $E = Q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$ 。

$U(r) = \int_r^{R_2} E dr = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R_2}\right)$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #电势 #导体球壳 #接地

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

电势定义： $U(r) = \int_r^{U=0} \vec{E} \cdot d\vec{l}$
同心球壳间场强： $E = Q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$ （高斯定理）
外球壳接地： $$U(R_2) = 0$$ （电势零点）
接地导体球壳内表面感应电荷 $$-Q$$

思路分析

由高斯定理求两球间场强
从 $$r$$ 积分到 $$R_2$$ （电势零点）求电势
外球壳外部场强为零（接地后外表面无电荷）

易错点

外球壳接地后，外表面电荷为零，外部无电场
电势积分方向从 $$r$$ 到 $$R_2$$ ，不是到无穷远

🔄 举一反三

外球壳不接地，两球间电势分布？
查看练习答案与解析
答案： $U = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} + C$
解析：
- 第一步：不接地时外球壳外表面有 $$+Q$$ ，外部有电场
- 第二步： $U(r) = \int_r^\infty E\,dr = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$
- 第三步：取无穷远为零电势， $U(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$
内球壳也接地，外球壳不接地，求外球壳电势。
查看练习答案与解析
答案： $$0$$
解析：内球接地后电荷为零，外球壳无感应电荷，电势为零。

(4分) 紧贴半径为 $R _ { 1 }$ 的金属球外有一层相对介电常量为 $\varepsilon _ { \mathrm { r } } = 2$ 的介质球壳，其外半径为 $R _ { 2 }$ ，若金属球带电为 $$q$$ 。则介质内离球心 $r \left( < R _ { 2 } \right)$ 处的电场强度的大小 $$E = .$$ ；金属球心处的电势 $$U = .$$ 。

查看答案与解析

答案： $E = \frac{q}{8\pi\varepsilon_0 r^2}$ ； $U = \frac{q}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$

解析：

$D = q/(4\pi r^2)$ ， $E = D/(\varepsilon_r\varepsilon_0) = q/(8\pi\varepsilon_0 r^2)$ 。

$U = \int_{R_1}^{R_2} E dr + \int_{R_2}^\infty \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr = \frac{q}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) + \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_2} = \frac{q}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #电介质 #高斯定理 #电势

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

$\vec{D}$ 的高斯定理： $D = q/(4\pi r^2)$
介质中场强： $E = D/(\varepsilon_r\varepsilon_0)$
电势计算：分段积分 $U = \int_{R_1}^{R_2} E_{\text{介质}}\,dr + \int_{R_2}^\infty E_{\text{真空}}\,dr$
真空中 $E = q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$

思路分析

由 $\vec{D}$ 的高斯定理求 $$D$$ ，再求 $$E$$
分段积分求球心电势
介质内和介质外场强不同

易错点

介质内 $E = q/(4\pi\varepsilon_r\varepsilon_0 r^2)$ ，不是 $q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$
电势积分需分段：介质内 + 介质外

🔄 举一反三

介质球壳 $\varepsilon_r$ 增大，球心电势如何变化？
查看练习答案与解析
答案：减小
解析：
- 第一步： $\varepsilon_r$ 增大 → 介质内 $$E$$ 减小
- 第二步：但球心电势主要取决于介质内积分
- 第三步： $$E$$ 减小 → 积分值减小 → 球心电势减小
若介质球壳外半径 $R_2 \to \infty$ ，球心电势为多少？
查看练习答案与解析
答案： $U = q/(8\pi\varepsilon_0 R_1)$
解析：介质充满整个空间， $E = q/(8\pi\varepsilon_0 r^2)$ ， $U = \int_{R_1}^\infty E\,dr = q/(8\pi\varepsilon_0 R_1)$ 。

4．(4 分) 三个完全相同的金属球 A、B、C，其中 A 球所带电荷量为 $\mathcal { Q }$ ，而 B、C球均不带电。先使A球同B 球接触，分开很远后A 球再和C球接触，最后三个球分别孤立地放置，则A、B 两球所储存的电场能量 $W _ { \mathrm { A } }$ ， $W _ { \mathrm { B } }$ ，与A 球原先所储存的电场能量 $W _ { 0 }$ 比较， $W _ { \mathrm { A } }$ 是 $W _ { 0 }$ 的倍， $W _ { \mathrm { B } }$ 是 $W _ { 0 }$ 的倍。

查看答案与解析

答案： $$1/16$$ ； $$1/4$$

解析：

A 与 B 接触：各得 $$Q/2$$ 。A 与 C 接触：各得 $$Q/4$$ 。

最终： $$Q_A = Q/4$$ ， $$Q_B = Q/2$$ ， $$Q_C = Q/4$$ 。

$W \propto Q^2$ ， $W_0 \propto Q^2$ 。

$$W_A/W_0 = (1/4)^2 = 1/16$$ ， $$W_B/W_0 = (1/2)^2 = 1/4$$ 。

难度: ⭐
考点: #导体 #电场能量

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

孤立导体球电容： $C = 4\pi\varepsilon_0 R$
电场能量： $$W = Q^2/(2C)$$ （ $W \propto Q^2$ ）
相同导体球接触后电荷均分
A 与 B 接触： $$Q_A = Q_B = Q/2$$ ；A 再与 C 接触： $$Q_A = Q_C = Q/4$$

思路分析

追踪每次接触后的电荷分配
最终 $$Q_A = Q/4$$ ， $$Q_B = Q/2$$ ， $$Q_C = Q/4$$
由 $W \propto Q^2$ 计算能量比

易错点

相同导体球接触后电荷均分，不是电流均分
电场能量与 $$Q^2$$ 成正比，不是与 $$Q$$ 成正比

🔄 举一反三

三个相同球 A、B、C，A 带 $$Q$$ ，先 A 接 B，再 B 接 C，最终各球电荷？
查看练习答案与解析
答案： $$Q_A = Q/2$$ ， $$Q_B = Q/4$$ ， $$Q_C = Q/4$$
解析：
- 第一步：A 接 B → $$Q_A = Q_B = Q/2$$
- 第二步：B 接 C → $$Q_B = Q_C = Q/4$$
- 第三步：A 未参与第二次接触， $$Q_A = Q/2$$
若 A、B、C 三球同时接触，各球电荷？
查看练习答案与解析
答案：各 $$Q/3$$
解析：三球相同，总电荷 $$Q$$ 均分，每球 $$Q/3$$ 。

🔄 举一反三

两相同金属球接触后分开，电荷如何分配？
查看练习答案与解析
答案：各得一半

5．(3分) 在无限大的各向同性均匀电介质中，放一无限长的均匀带电直线，其电荷线密度为λ．已知介质的相对介电常量为 $\mathcal { E } _ { \mathrm { r } }$ ，则介质中距离带电直线为 $$r$$ 处的电极化强度大小 $P = _ { - }$ 。

查看答案与解析

答案： $\frac{(\varepsilon_r - 1)\lambda}{2\pi\varepsilon_r r}$

解析：

$D = \lambda/(2\pi r)$ ， $E = D/(\varepsilon_r\varepsilon_0) = \lambda/(2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0 r)$ 。

$P = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)E = \frac{(\varepsilon_r - 1)\lambda}{2\pi\varepsilon_r r}$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #电极化强度 #电介质

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

电极化强度： $P = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)E = (\varepsilon_r - 1)D/\varepsilon_r$
$\vec{D}$ 的高斯定理： $D = \lambda/(2\pi r)$ （无限长带电直线）
介质中场强： $E = D/(\varepsilon_r\varepsilon_0)$
$$P$$ 与 $$E$$ 的关系： $\vec{P} = \chi_e\varepsilon_0\vec{E}$ ， $\chi_e = \varepsilon_r - 1$

思路分析

由高斯定理求 $$D$$
由 $$D$$ 求 $$E$$
由 $$E$$ 求 $$P$$

易错点

$$P$$ 的公式中 $\varepsilon_r - 1$ 不要漏减 1
真空中 $\varepsilon_r = 1$ ， $$P = 0$$ （无极化）

🔄 举一反三

真空中（ $\varepsilon_r = 1$ ）电极化强度？
查看练习答案与解析
答案： $$P = 0$$
解析：
- 第一步： $\varepsilon_r = 1$ → $\chi_e = 0$
- 第二步： $P = \chi_e\varepsilon_0 E = 0$
- 第三步：真空中无介质，无极化
若 $\varepsilon_r \gg 1$ ， $$P$$ 近似为多少？
查看练习答案与解析
答案： $P \approx \lambda/(2\pi r) = D$
解析： $\varepsilon_r \gg 1$ 时， $(\varepsilon_r - 1)/\varepsilon_r \approx 1$ ， $P \approx D$ 。

(3 分) 将半径为 $$R$$ 的无限长导体管壁(厚度忽略)沿轴向割去一定宽度 $h \ ( h < < R )$ 的无限长狭缝后，再沿轴向均匀地通有电流，其面电流密度为 $$i ,$$ 如图所示，则管轴线上磁感应强度大小是。

查看答案与解析

答案： $\frac{\mu_0 h i}{2\pi R}$

解析：

完整圆管在轴线上 $$B = 0$$ 。割去狭缝相当于减去宽 $$h$$ 的电流，其效果等于在轴线上产生 $B = \mu_0 i h/(2\pi R)$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #毕奥-萨伐尔定律 #磁场叠加

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

完整圆管轴向电流在轴线上： $$B = 0$$ （安培环路定理）
狭缝等效为反向电流： $I_{\text{缝}} = ih$
无限长直导线磁场： $B = \mu_0 I/(2\pi R)$
叠加原理：有缝圆管 = 完整圆管 − 狭缝电流

思路分析

完整圆管在轴线上 $$B=0$$
割去狭缝等效于减去宽 $$h$$ 的电流
狭缝电流在轴线上产生磁场 $B = \mu_0 ih/(2\pi R)$

易错点

狭缝很窄（ $h \ll R$ ），可视为线电流
叠加法是处理"缺损"问题的常用技巧

🔄 举一反三

完整圆管通均匀轴向电流，轴线上磁场？
查看练习答案与解析
答案： $$B = 0$$
解析：
- 第一步：取轴线为安培环路
- 第二步：环路内无电流穿过
- 第三步： $B \cdot 2\pi r = 0$ → $$B = 0$$
若割去两条对称狭缝，轴线上磁场？
查看练习答案与解析
答案： $$0$$
解析：两条对称狭缝在轴线上产生的磁场等大反向，互相抵消。

(4分) 一平面试验线圈的磁矩大小 $$m$$ 为 $1 { \times } 1 0 ^ { - 8 } \mathrm { ~ A ~ } { \cdot } \mathrm { ~ m } ^ { 2 }$ ，把它放入待测磁场中的A处，试验线圈如此之小，以致可以认为它所占据的空间内场是均匀的。当此线圈的m与z轴平行时，所受磁力矩大小为 $M = 5 { \times } 1 0 ^ { - 9 } \mathrm { ~ N } \cdot \mathrm { m }$ ，方向沿 $$x$$ 轴负方向；当此线圈的 m 与 $$y$$ 轴平行时，所受磁力矩为零。则空间 A 点处的磁感应强度 $\dot { B }$ 的大小为，方向为。

查看答案与解析

答案： $0.5\ \mathrm{T}$ ；沿 $$y$$ 轴方向

解析：

$\vec{M} = \vec{m} \times \vec{B}$ 。 $\vec{m} \parallel y$ 时 $$M = 0$$ → $\vec{B} \parallel y$ 。

$\vec{m} \parallel z$ 时 $M = mB = 5 \times 10^{-9}$ → $B = 5 \times 10^{-9} / (1 \times 10^{-8}) = 0.5\ \mathrm{T}$ 。

方向： $\vec{m} \times \vec{B}$ 沿 $$-x$$ ， $\vec{m} \parallel z$ → $\vec{B}$ 沿 $$+y$$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #磁力矩 #磁矩

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

磁力矩： $\vec{M} = \vec{m} \times \vec{B}$ ，大小 $M = mB\sin\theta$
磁矩与磁场平行时 $$M = 0$$ ，垂直时 $$M = mB$$
$\vec{m} \parallel y$ 时 $$M=0$$ → $\vec{B} \parallel y$
$\vec{m} \parallel z$ 时 $$M$$ 沿 $$-x$$ → $\vec{B}$ 沿 $$+y$$

思路分析

由 $$M=0$$ 的条件判断 $\vec{B}$ 的方向
由 $$M=mB$$ 的大小求 $$B$$
由叉积方向验证 $\vec{B}$ 的方向

易错点

$\vec{M} = \vec{m} \times \vec{B}$ ，不是 $\vec{B} \times \vec{m}$
磁力矩为零说明磁矩与磁场平行（同向或反向）

🔄 举一反三

线圈磁矩与磁场平行，磁力矩？
查看练习答案与解析
答案： $$M = 0$$
解析：
- 第一步： $\vec{m} \parallel \vec{B}$ → $\sin\theta = 0$
- 第二步： $M = mB\sin\theta = 0$
线圈磁矩与磁场成 $30^\circ$ ， $m = 2\ \mathrm{A\cdot m^2}$ ， $B = 0.5\ \mathrm{T}$ ，求 $$M$$ 。
查看练习答案与解析
答案： $M = 0.5\ \mathrm{N\cdot m}$
解析： $M = mB\sin 30^\circ = 2 \times 0.5 \times 0.5 = 0.5\ \mathrm{N\cdot m}$ 。

8．(3分) 氢原子中，电子绕原子核沿半径为 $$r$$ 的圆周运动等效于—个圆形电流。如果外加一个磁感应强度为 $$B$$ 的磁场，其磁感应线与轨道平面平行，则这个圆电流所受的磁力矩大小 $M = _ { - }$ 。设电子质量为 $m _ { \mathfrak { e } }$ ，电子电量的绝对值为e。。

查看答案与解析

答案： $\frac{e^2 B}{4}\sqrt{\frac{r}{\pi\varepsilon_0 m_e}}$

解析：

电子圆周运动： $e^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2) = m_e v^2/r$ → $v = e/\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}$ 。

等效电流 $I = e/T = ev/(2\pi r)$ ，磁矩 $m = I \cdot \pi r^2 = evr/2$ 。

$M = mB = \frac{e^2 B}{4}\sqrt{\frac{r}{\pi\varepsilon_0 m_e}}$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #磁矩 #磁力矩 #玻尔模型

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

电子轨道磁矩： $m = IS = \frac{evr}{2}$
等效电流： $I = e/T = ev/(2\pi r)$
库仑力提供向心力： $e^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2) = m_e v^2/r$
磁力矩： $M = mB\sin\theta$ （ $\vec{B}$ 与轨道面平行时 $\theta = 90^\circ$ ）

思路分析

由库仑力提供向心力求电子速度 $$v$$
计算等效电流和磁矩
磁场与轨道面平行， $\sin\theta = 1$ ， $$M = mB$$

易错点

磁场与轨道面平行 ≠ 磁矩与磁场平行
磁矩方向垂直于轨道面

🔄 举一反三

磁场垂直于轨道平面，磁力矩？
查看练习答案与解析
答案： $$M = 0$$ （ $\vec{m} \parallel \vec{B}$ ）
解析：
- 第一步：磁矩方向垂直于轨道面
- 第二步：磁场也垂直于轨道面 → $\vec{m} \parallel \vec{B}$
- 第三步： $M = mB\sin 0 = 0$
氢原子基态（ $$r = a_0$$ ）的磁矩大小？
查看练习答案与解析
答案： $m_B = eh/(4\pi m_e)$ （玻尔磁子）
解析： $$m = evr/2$$ ， $v = e/\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}$ ，代入得 $m = \frac{e^2}{4}\sqrt{\frac{r}{\pi\varepsilon_0 m_e}}$ 。

(3分) 无限长载流直导线,通以电流 $I _ { 1 }$ ，旁边有一段长为 $$a$$ ，电流为 $I _ { 2 }$ 的直导线，与之共面。其左端距无限长直导线的距离为 $$a$$ ，则 $I _ { 2 }$ 受到的安培力的大小为。

查看答案与解析

答案： $\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}\ln 2$

解析：

$B = \mu_0 I_1/(2\pi x)$ ， $dF = I_2 B dx = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi x}dx$ 。

$F = \int_a^{2a} \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi x}dx = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}\ln 2$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #安培力 #载流导线

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

安培力： $d\vec{F} = I\,d\vec{l} \times \vec{B}$
无限长直导线磁场： $B = \mu_0 I_1/(2\pi x)$
非均匀磁场中需积分： $F = \int I_2 B(x)\,dx$
积分限：从 $$a$$ 到 $$2a$$

思路分析

写出 $$I_1$$ 在 $$x$$ 处产生的磁场
微元安培力 $dF = I_2 B(x)\,dx$
从 $$a$$ 到 $$2a$$ 积分

易错点

磁场随距离变化，不能直接用 $$F = BIL$$
积分限是导线两端到长直导线的距离

🔄 举一反三

两平行无限长载流导线单位长度受力？
查看练习答案与解析
答案： $F = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi d)$
解析：
- 第一步：导线 1 在导线 2 处的磁场 $B = \mu_0 I_1/(2\pi d)$
- 第二步：单位长度安培力 $F/L = I_2 B = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi d)$
若两导线电流同向，受力方向？
查看练习答案与解析
答案：相互吸引
解析：同向电流产生磁场使对方受力指向自己，表现为吸引力。

10.(4分) 长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体中有等值反向均匀电流 I 通过，其间充满磁导率为 $\mu$ 的均匀磁介质。介质中离中心轴距离为 $$r$$ 的某点处的磁场强度的大小 $$H =$$ ，磁感应强度的大小 $$B =$$

查看答案与解析

答案： $H = \frac{I}{2\pi r}$ ； $B = \frac{\mu I}{2\pi r}$

解析：

安培环路定理： $\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I$ → $2\pi r H = I$ → $H = I/(2\pi r)$ 。

$B = \mu H = \mu I/(2\pi r)$ 。

难度: ⭐
考点: #安培环路定理 #磁介质

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

安培环路定理： $\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_f$ （传导电流）
磁介质中： $B = \mu H = \mu_r\mu_0 H$
同轴电缆两导体电流等值反向
外部总电流为零 → 外部 $$B = 0$$

思路分析

取半径为 $$r$$ 的圆形安培环路
环路内包围的传导电流为 $$I$$
$H = I/(2\pi r)$ ， $B = \mu H$

易错点

$\vec{H}$ 的环路定理只与传导电流有关
同轴电缆外部两电流抵消， $$B=0$$

🔄 举一反三

同轴电缆外部的磁场？
查看练习答案与解析
答案： $$B = 0$$ （电流代数和为零）
解析：
- 第一步：外部安培环路包围的总电流 $$I + (-I) = 0$$
- 第二步： $\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = 0$ → $$H = 0$$
- 第三步： $B = \mu H = 0$
若内导体电流为 $$2I$$ ，外导体电流为 $$I$$ ，外部磁场？
查看练习答案与解析
答案： $B = \mu I/(2\pi r)$
解析：净电流 $$2I - I = I$$ ， $H = I/(2\pi r)$ ， $B = \mu I/(2\pi r)$ 。

三、计算题(共50分)

(10分) 一无限大带电厚板，板厚为 $$2 d$$ ，如图那样选 $$x$$ 轴，电荷体密度 $\rho = \rho _ { \mathrm { 0 } } | x | / d$ ，式中 $\rho _ { 0 }$ 为常量。

(1) 求： $$x > 0$$ 各处的电场分布；
(2) 以 $$x = 0$$ 平面作为电势零点，求： $$0 < x < d$$ 处的电势分布。

查看答案与解析

答案：(1) $$0 < x < d$$ ： $E = \frac{\rho_0 x^2}{2d\varepsilon_0}$ ； $$x > d$$ ： $E = \frac{\rho_0 d}{2\varepsilon_0}$ ；(2) $U = -\frac{\rho_0 x^3}{6d\varepsilon_0}$

解析：

(1) 对称性： $$E(-x) = -E(x)$$ 。高斯定理：

$$0 < x < d$$ ： $2E S = 2\int_0^x S\rho(x)dx/\varepsilon_0 = S\rho_0 x^2/(d\varepsilon_0)$ → $E = \rho_0 x^2/(2d\varepsilon_0)$ 。

$$x > d$$ ： $2E S = 2\int_0^d S\rho(x)dx/\varepsilon_0 = S\rho_0 d/\varepsilon_0$ → $E = \rho_0 d/(2\varepsilon_0)$ 。

(2) $U = \int_x^0 E dx = -\int_0^x \frac{\rho_0 x^2}{2d\varepsilon_0}dx = -\frac{\rho_0 x^3}{6d\varepsilon_0}$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #高斯定理 #电势 #对称性

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

高斯定理： $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = q_{\text{内}}/\varepsilon_0$
对称性分析： $$E(-x) = -E(x)$$ ，场强沿 $$x$$ 方向
电势： $U(x) = -\int_0^x E\,dx$ （取 $$x=0$$ 为零电势点）
非均匀电荷分布需积分求 $q_{\text{内}}$

思路分析

由对称性确定场强方向沿 $$x$$ 轴
取高斯面（垂直于 $$x$$ 轴的平面 + 侧面）
分 $$0 < x < d$$ 和 $$x > d$$ 两种情况求场强
由场强积分求电势

易错点

电荷密度 $\rho = \rho_0|x|/d$ 随 $$x$$ 变化，需积分求 $q_{\text{内}}$
电势积分方向从 $$x$$ 到 $$0$$ （零电势点）

🔄 举一反三

均匀带电无限大平板外部场强？
查看练习答案与解析
答案： $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$
解析：
- 第一步：均匀带电面密度 $\sigma$ ，取高斯面
- 第二步： $2ES = \sigma S/\varepsilon_0$
- 第三步： $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$
若 $\rho$ 为常数（均匀带电），场强分布？
查看练习答案与解析
答案： $E = \rho x/\varepsilon_0$ （ $$|x| < d$$ ）， $E = \rho d/\varepsilon_0$ （ $$|x| > d$$ ）
解析：均匀分布时 $q_{\text{内}} = \rho S x$ ， $E = \rho x/\varepsilon_0$ 。

2．(10 分) 半径为 $R _ { 1 }$ 的导体球，所带电荷为 $$q$$ ，在它外面同心地罩一金属球壳，其内、外半径分别为 $R _ { 2 }$ 与 $R _ { 3 }$ ，已知 $R _ { 2 } = 2 R _ { 1 }$ ， $R _ { 3 } = 3 R _ { 1 }$ 。今在距球心 $d = 4 R _ { 1 }$ 处放一电荷为 $\mathcal { Q }$ 的点电荷，并将金属球壳接地(如图所示)，求：

(1) 球壳上感应出的总电荷是多少？
(2) 如果用导线将壳内导体球与壳相连，球壳带电量是多大？

查看答案与解析

答案：(1) $$-(3Q/4 + q)$$ ；(2) $$-3Q/4$$

解析：

(1) 球壳接地 $U_{\text{壳}} = 0$ 。球心电势叠加：

$U_O = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{R_1} - \frac{q}{R_2} + \frac{Q'}{R_3} + \frac{Q}{d}\right) = 0$ 。

代入 $$R_2 = 2R_1$$ ， $$R_3 = 3R_1$$ ， $$d = 4R_1$$ ：

$\frac{q}{R_1} - \frac{q}{2R_1} + \frac{Q'}{3R_1} + \frac{Q}{4R_1} = 0$ → $$Q' = -3Q/4$$ 。

总感应电荷 = $$-q + Q' = -(3Q/4 + q)$$ 。

(2) 导线连接后，内球与球壳等势（均为零），球壳外表面电荷 $$Q''$$ ：

$\frac{Q''}{3R_1} + \frac{Q}{4R_1} = 0$ → $$Q'' = -3Q/4$$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #导体静电平衡 #电势叠加 #接地

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

电势叠加原理： $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum\frac{q_i}{r_i}$
导体静电平衡：导体内部场强为零，导体是等势体
接地：电势为零，电荷可与大地交换
球壳内表面感应电荷： $$-q$$ （与内球电荷等大反号）

思路分析

球壳接地 → 球壳电势为零
球心电势 = 内球贡献 + 球壳内表面贡献 + 球壳外表面贡献 + 外部点电荷贡献
令球心电势为零，求球壳外表面电荷
连接后内球电荷转移到球壳

易错点

球心电势法是处理球壳接地问题的常用方法
球壳内表面电荷始终为 $$-q$$ （由高斯定理决定）

🔄 举一反三

球壳不接地，球壳外表面电荷？
查看练习答案与解析
答案： $$Q' = q$$ （总电荷守恒）
解析：
- 第一步：不接地时球壳总电荷为零
- 第二步：内表面 $$-q$$ ，外表面 $$+q$$
- 第三步：外部点电荷 $$Q$$ 不影响球壳电荷分布（近似）
若外部无点电荷 $$Q$$ ，球壳接地后外表面电荷？
查看练习答案与解析
答案： $$0$$
解析：接地后外表面电荷流入大地，仅内表面保留 $$-q$$ 。

3． (10分) 一圆柱形电容器，内圆柱的半径为 $R _ { 1 }$ ，外圆柱的半径为 $R _ { 2 }$ ，长为 $$L ~ [ L > >$$ $\left( R _ { 2 } - R _ { 1 } \right) ]$ ，两圆柱体之间充满相对介电常量为 $\varepsilon$ 的各向同性均匀电介质。设内外圆柱单位长度上带电量(即电荷线密度)分别为 λ 和 −λ。

(1) 求电容器的电容；
(2) 求电容器储存的能量。

查看答案与解析

答案：(1) $C = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon L}{\ln(R_2/R_1)}$ ；(2) $W = \frac{\lambda^2 L}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\ln\frac{R_2}{R_1}$

解析：

(1) $D = \lambda/(2\pi r)$ ， $E = D/(\varepsilon\varepsilon_0) = \lambda/(2\pi\varepsilon\varepsilon_0 r)$ 。

$U = \int_{R_1}^{R_2} E dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}$ 。

$C = Q/U = \lambda L / U = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon L}{\ln(R_2/R_1)}$ 。

(2) $W = Q^2/(2C) = \frac{\lambda^2 L}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\ln\frac{R_2}{R_1}$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #电容器 #电介质 #电场能量

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

电容定义： $$C = Q/U$$
圆柱形电容器电压： $U = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}$
电场能量： $W = Q^2/(2C) = \frac{1}{2}CU^2$
介质使电容增大 $\varepsilon$ 倍

思路分析

由高斯定理求 $$D$$ 和 $$E$$
积分求电压 $$U$$
由 $$C = Q/U$$ 求电容
由 $$W = Q^2/(2C)$$ 求能量

易错点

介质中场强 $E = D/(\varepsilon\varepsilon_0)$ ，不要忘记 $\varepsilon$
电容与长度 $$L$$ 成正比

🔄 举一反三

圆柱形电容器充满介质后电容变为真空的几倍？
查看练习答案与解析
答案： $\varepsilon$ 倍
解析：
- 第一步：真空电容 $C_0 = 2\pi\varepsilon_0 L/\ln(R_2/R_1)$
- 第二步：有介质 $C = 2\pi\varepsilon\varepsilon_0 L/\ln(R_2/R_1) = \varepsilon C_0$
平行板电容器电容公式？
查看练习答案与解析
答案： $C = \varepsilon\varepsilon_0 S/d$
解析： $E = \sigma/(\varepsilon\varepsilon_0)$ ， $U = Ed = \sigma d/(\varepsilon\varepsilon_0)$ ， $C = Q/U = \sigma S/(\sigma d/(\varepsilon\varepsilon_0)) = \varepsilon\varepsilon_0 S/d$ 。

(10 分) 如图所示，有一密绕平面螺旋线圈，其上通有电流 I，总匝数为 $$N$$ ，它被限制在半径为 $R _ { 1 }$ 和 $R _ { 2 }$ 的两个圆周之间。求此螺旋线中心 $$O$$ 处的磁感应强度。

查看答案与解析

答案： $B = \frac{\mu_0 N I}{2(R_2 - R_1)}\ln\frac{R_2}{R_1}$ ，方向垂直纸面向外

解析：

在 $$r$$ 处取 $$dr$$ 宽圆环，匝数 $$dN = N dr/(R_2 - R_1)$$ ，电流 $$dI = I dN$$ 。

$dB = \mu_0 dI/(2r) = \frac{\mu_0 N I}{2(R_2 - R_1)}\frac{dr}{r}$ 。

$B = \int_{R_1}^{R_2} dB = \frac{\mu_0 N I}{2(R_2 - R_1)}\ln\frac{R_2}{R_1}$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #毕奥-萨伐尔定律 #圆电流 #积分

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

圆电流中心磁场： $B = \mu_0 I/(2R)$
螺旋线圈匝数密度： $$dN/dr = N/(R_2 - R_1)$$
微元圆环磁场： $dB = \mu_0 dI/(2r)$
叠加积分： $B = \int_{R_1}^{R_2} dB$

思路分析

将螺旋线圈视为许多同心圆环
在 $$r$$ 处取宽 $$dr$$ 的圆环，匝数 $dN = N\,dr/(R_2 - R_1)$
每个圆环在中心产生 $dB = \mu_0 I\,dN/(2r)$
从 $$R_1$$ 到 $$R_2$$ 积分

易错点

匝数均匀分布在径向，不是面积均匀
积分结果含 $\ln(R_2/R_1)$ ，不是简单的差

🔄 举一反三

单匝圆线圈中心磁场？
查看练习答案与解析
答案： $B = \mu_0 I/(2R)$
解析：
- 第一步：毕奥-萨伐尔定律
- 第二步：圆弧上每段 $$dl$$ 在中心产生的 $$dB$$ 方向相同
- 第三步： $B = \mu_0 I/(2R)$
若 $R_1 \to R_2 = R$ （密绕在半径 $$R$$ 上），中心磁场？
查看练习答案与解析
答案： $B = \mu_0 NI/(2R)$
解析： $$N$$ 匝集中在 $$R$$ 处， $B = N \cdot \mu_0 I/(2R) = \mu_0 NI/(2R)$ 。

5.(10分) 电磁轨道炮是一种利用电磁力发射炮弹的新型武器，它利用磁能在短时间内把射弹加速到高速。其原理如图所示。大电流沿两条很长的平行的导体轨道之一送出，流过松弛嵌在两轨道之间的待发射的金属弹 $$P$$ ，然后沿第二条轨道流回电流源。此时，两轨道中的电流所产生的磁场将对流过电流的金属弹 $$P$$ 产生作用力，推动其

在短时间内加速并发射。若轨道截面为半径为 $$R$$ 的圆形截面，通有电流 $$i ,$$ ，两轨道间距为 $$d$$ ，求作用在金属弹 $$P$$ 上的力。

查看答案与解析

答案： $F = \frac{\mu_0 i^2}{2\pi}\ln\frac{d+R}{R}$ ，方向水平向右

解析：

两轨道在 $$l$$ 处产生的磁场同向（垂直纸面向里）：

$B = \frac{\mu_0 i}{4\pi l} + \frac{\mu_0 i}{4\pi(2R+d-l)}$ 。

$$dF = i B dl$$ ，积分：

$F = \int_R^{R+d} \left[\frac{\mu_0 i^2}{4\pi l} + \frac{\mu_0 i^2}{4\pi(2R+d-l)}\right]dl = \frac{\mu_0 i^2}{2\pi}\ln\frac{d+R}{R}$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #安培力 #磁场叠加 #积分

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

安培力： $d\vec{F} = I\,d\vec{l} \times \vec{B}$
无限长直导线磁场： $B = \mu_0 I/(2\pi r)$
两轨道电流在弹体处磁场叠加
非均匀磁场需积分求总力

思路分析

分析两轨道在弹体各位置产生的磁场
两轨道磁场同向叠加
微元安培力 $dF = iB\,dl$
沿弹体长度积分

易错点

弹体各处到两轨道距离不同，磁场非均匀
积分限从 $$R$$ 到 $$R+d$$ （考虑轨道半径）

🔄 举一反三

两同向电流轨道间金属弹受力方向？
查看练习答案与解析
答案：水平向左
解析：
- 第一步：两轨道电流在弹体处产生垂直纸面向里的磁场
- 第二步：弹体电流从左到右
- 第三步： $\vec{F} = I\vec{l} \times \vec{B}$ ，由右手定则判断方向
若轨道间距 $d \gg R$ ，力近似为多少？
查看练习答案与解析
答案： $F \approx \frac{\mu_0 i^2}{2\pi}\ln(d/R)$
解析： $d \gg R$ 时， $d + R \approx d$ ， $\ln((d+R)/R) \approx \ln(d/R)$ 。

《大学物理AⅡ》期中补考试卷 (精选01) ​

一、选择题 (共 15 分， 每题3 分) 请将答案写在试卷上指定方括号［ ］内。 ​

二、填空题(共35分)请将填空题答案写在卷面指定的划线处 ​

三、计算题(共50分) ​

《大学物理AⅡ》期中补考试卷 (精选01)

一、选择题 (共 15 分，每题3 分) 请将答案写在试卷上指定方括号［］内。

二、填空题(共35分)请将填空题答案写在卷面指定的划线处

三、计算题(共50分)